（2013?宁德模拟）如图（1），在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠C=90°，CD=2AB=2，∠D=60°，E为DC中点，
（2013?宁德模拟）如图（1），在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，CD=2AB=2，∠D=60°，E为DC中点，将四边形ABCE绕直线AE旋转90°得到四...
（2013?宁德模拟）如图（1），在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠C=90°，CD=2AB=2，∠D=60°，E为DC中点，将四边形ABCE绕直线AE旋转90°得到四边形AB′C′E，如图（2）．（I）求证：EA⊥B′B；（II）线段B′C′上是否存在点M，使得EM∥平面DB′B，若存在，确定点M的位 置；若不存在，请说明理由；（III）求平面CB′D与平面BB′A所成的锐二面角的大小．
展开
展开全部
解：（Ⅰ）证明：∵CD=CD=2AB=2，∴CE=AB，又AB∥CD，且∠C=90°，∴四边形ABCD为矩形．∴AB⊥EA，EA⊥AB′，又AB∩B′=A，∴EA⊥平面ABB′，∵BB′?平面ABB′，∴EA⊥B′B；
（Ⅱ）解：存在．当M为B′C′的中点时，EM∥平面DB′B．理由如下：设AE与BD交于N，连结B′N．
∵AB∥DE且AB=DE，
∴四边形ABED为平行四边形，∴N为AE的中点．
∵M为B′C′中点，四边形AB′C′E为矩形，∴MB′∥EN，MB′=EN．
∴四边形MB′NE为平行四边形，∴EM∥B′N，
又∵EM?平面DBB′，B′N?平面DBB′，
∴EM∥平面DB′B．
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知DH⊥底面AB′C′E⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，E-xyz，如图所示
则D（1，0，0），B′0，
| 3 |
所以
| DB′ |
| 3 |
| DC |
设面DCB′的法向量为
| m |
|
