Question

（理）已知数列{an}的各项均不为零，a1=1，a2=m，且对任意n∈N*，都有a2n+1＝anan+2+c．（1）设c=1，若数

（理）已知数列{an}的各项均不为零，a1=1，a2=m，且对任意n∈N*，都有a2n+1＝anan+2+c．（1）设c=1，若数列{an}是等差数列，求m；（2）设c=1，当n≥2，n∈N*时，求证：an+1+an?1a n是一个常数；（3）当c=（m+1）2时，求数列{an}的通项公式．

Answer 1

（1）由题意得：d=a₂-a₁=m-1，
a_n=1+（n-1）（m-1），
a_n+1=1+n（m-1），
a_n+2=1+（n+1）（m-1）
∵

a

2 n+1

＝anan+2+1，
∴[1+n（m-1）]²=[1+（n-1）（m-1）][1+（n+1）（m-1）]+1
解得m=2．
（2）法一：∵a₁=1，a₂=m，

a

2 n+1

＝anan+2+c，c=1，
∴a3＝m2?1，∴

a1+a3

a2

＝m，
猜想

an?1+an+1

an

＝m
欲证明

an?1+an+1

an

＝m恒成立
只需要证明

an?1+an+1

an

＝

an+an+2

an+1

恒成立
即要证明a_n+1（a_n-1+a_n+1）=a_n（a_n+a_n+2）恒成立
即要证明an+1an?1+an+12＝an2+anan+2恒成立，
∵

a

2 n+1

＝anan+2+1，
∴an+1an?1＝an2?1，anan+2＝an+12?1，
∵a_n+1a_n-1+an+12=an+1an?1+an+12＝an2?1+an+12，