Question

设数列{an}满足a1=1，a2=2，对任意的n∈N*，an+2是an+1与an的等差中项．（1）设bn=an+1-an，证明数列{bn}

设数列{an}满足a1=1，a2=2，对任意的n∈N*，an+2是an+1与an的等差中项．（1）设bn=an+1-an，证明数列{bn}是等比数列，并求出其通项公式；（2）写出数列{an}的通项公式（不要求计算过程），令cn＝32n(53?an)，求数列{cn}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）∵a_n+2是a_n+1与a_n的等差中项．
∴2a_n+2=a_n+1+a_n，
∵b_n=a_n+1-a_n，∴b_n+1=a_n+2-a_n+1=

1

2

（a_n+1+a_n）-a_n+1=-

1

2

b_n，
∵a₁=1，a₂=2，
∴b₁=a₂-a₁=1
∴数列{b_n}是以1为首项，-

1

2

为公比的等比数列，通项公式为b_n=(?

1

2

)n?1；
（2）由（1）知，a_n+1-a_n=(?

1

2

)n?1
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=1+1+…+(?

1

2

)n?2=

5

3

?

2

3

×(?

1

2

)n?1
∴cn＝

3

2

n(

5

3

?an)=n×(?

1

2

)n?1
∴S_n=1×(?

1

2

)1?1+2×(?

1

2

)2?1+…+n×(?

1

2

)n?1①
∴?

1

2

S_n=1×(?

1

2

)2?1+2×(?

1

2

)3?1+…+n×(?

1

2

)n②
①-②可得

3

2

S_n=1+(?

1

2

)+(?

1

2

)2+…+(?

1

2

)