已知函数f（x）=aex，g（x）=1alnx，其中a＞0．若函数f（x）和 g（x）在它们图象与坐标轴交点处的切线互
已知函数f（x）=aex，g（x）=1alnx，其中a＞0．若函数f（x）和g（x）在它们图象与坐标轴交点处的切线互相平行．（1）求这两平行切线间的距离；（2）若对于任意...
已知函数f（x）=aex，g（x）=1alnx，其中a＞0．若函数f（x）和 g（x）在它们图象与坐标轴交点处的切线互相平行．（1）求这两平行切线间的距离；（2）若对于任意x∈R，f（x）≥mx+1（其中m＞0）恒成立，求m的取值范围（3）当x0∈（0，+∞），把|f（x0）-g（x0）|的值称为函数f（x）和 g（x）在x0处的纵差．求证：函数f（x）和g（x）所有纵差都大于2．
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（1）函数f（x）=aex，与坐标轴的交点为（0，a），f′（x）=aex；
g（x）=
lnx，与坐标轴的交点为（1，0），g′(x)＝
．
∵它们图象与坐标轴交点处的切线互相平行，
∴f′（0）=g′（1），∴a=
，又a＞0，解得a=1．
∴它们图象与坐标轴交点处的切线方程分别为：y-1=x，y=x-1．
∴这两平行切线间的距离d=
=
；
（2）设h（x）=ex-mx-1（m＞0），则h′（x）=ex-m，令h′（x）=0，解得x=lnm．
当x∈（0，lnm）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；当x∈（lnm，+∞）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．
∴h（x）min=h（lnm）=m-mlnm-1．
令g（m）=m-mlnm-1，则g′（m）=-lnm，令g′（m）=0，解得m=1．
当m∈（0，1）时，g′（m）＞0，函数h（x）单调递增；
当m∈（1，+∞）时，g′（m）＜0，函数h（x）单调递减．
∴g（m）≤g（1）=0，
对于任意x∈R，f（x）≥mx+1（其中m＞0）恒成立?g（m）≥0，
∴g（m）=0，解得m=1．
（3）证明：∵函数f（x）和g（x）纵差F（x）=|ex-lnx|=ex-lnx，x＞0．
∴F′(x)＝ex?
，
设x=t是F′（x）=0的解，则当x∈（0，t）时，F′（x）＜0，F（x）在（0，t）内单调递减；
当x∈（t，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）在（0，t）内单调递增．
∴F（x）min=et-lnt=et-ln
=et+t，
∵F′（1）=e-1＞0，F′(
)＝
?2＜0，∴
＜t＜1．
因此F（x）min=et+t＞e
+
=
g（x）=
| 1 |
| a |
| 1 |
| ax |
∵它们图象与坐标轴交点处的切线互相平行，
∴f′（0）=g′（1），∴a=
| 1 |
| a |
∴它们图象与坐标轴交点处的切线方程分别为：y-1=x，y=x-1．
∴这两平行切线间的距离d=
| 2 | ||
|
| 2 |
（2）设h（x）=ex-mx-1（m＞0），则h′（x）=ex-m，令h′（x）=0，解得x=lnm．
当x∈（0，lnm）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；当x∈（lnm，+∞）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．
∴h（x）min=h（lnm）=m-mlnm-1．
令g（m）=m-mlnm-1，则g′（m）=-lnm，令g′（m）=0，解得m=1．
当m∈（0，1）时，g′（m）＞0，函数h（x）单调递增；
当m∈（1，+∞）时，g′（m）＜0，函数h（x）单调递减．
∴g（m）≤g（1）=0，
对于任意x∈R，f（x）≥mx+1（其中m＞0）恒成立?g（m）≥0，
∴g（m）=0，解得m=1．
（3）证明：∵函数f（x）和g（x）纵差F（x）=|ex-lnx|=ex-lnx，x＞0．
∴F′(x)＝ex?
| 1 |
| x |
设x=t是F′（x）=0的解，则当x∈（0，t）时，F′（x）＜0，F（x）在（0，t）内单调递减；
当x∈（t，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）在（0，t）内单调递增．
∴F（x）min=et-lnt=et-ln
| 1 |
| et |
∵F′（1）=e-1＞0，F′(
| 1 |
| 2 |
| e |
| 1 |
| 2 |
因此F（x）min=et+t＞e
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
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