Question

已知函数f（x）=kex，g（x）=1klnx，其中k＞0．若函数f（x），g（x）在它们的图象与坐标轴交点处的切线互

已知函数f（x）=kex，g（x）=1klnx，其中k＞0．若函数f（x），g（x）在它们的图象与坐标轴交点处的切线互相平行．（1）求k的值；（2）是否存在直线l，使得l同时是函数f（x），g（x）的切线？说明理由．（3）若直线x=a（a＞0）与f（x）、g（x）的图象分别交于A、B两点，直线y=b（b＞0）与h（x）的图象有两个不同的交点C、D．记以A、B、C、D为顶点的凸四边形面积为S，求证：S＞2．

Answer 1

解答：（1）解：f（x），g（x）与坐标轴的交点分别为（0，k），（1，0），
由f（x）=ke^x，g（x）=

1

k

lnx，得f′（x）=ke^x，g′（x）=

1

kx

，
由题意知f′（0）=g′（1），即k=

1

k

，又k＞0，所以k=1．            …2分
（2）解：假设存在直线l同时是函数f（x），g（x）的切线，
设l与f（x），g（x）分别相切于点M（m，e^m），N（n，lnn）（n＞0），
则l：y-e^m=e^m（x-m）或表示为y-lnn=

1

n

（x-n），
则e^m=

1

n

，且e^m（1-m）=lnn-1，要说明l是否存在，只需说明上述方程组是否有解．…4分
由e^m=

1

n

得n=e^-m，代入e^m（1-m）=lnn-1，得e^m（1-m）=-m-1，即e^m（1-m）+m+1=0，
令h（m）=e^m（1-m）+m+1，
因为h（1）=2＞0，h（2）=-e²+3＜0，所以方程e^m（1-m）+m+1=0有解，则方程组有解，
故存在直线l，使得l同时是函数f（x），g（x）的切线．                 …8分
（3）证明：设A（x₀，ex0），B（x₀，lnx₀），则AB=|ex0-lnx₀|，
设F（x）=ex0-lnx₀，∴G（x）=F′（x）=ex0-

1

x0

，
∴G′（x）=ex0+

1

x02

＞0，即G（x）在（0，+∞）上单调递增，
又G（0.5）=

e

-2＜0，G（1）=e-1＞0，
故G（x）在（0，+∞）上有唯一零点，设为t∈（0.5，1），则e^t-

1

t

=0，因此t=-lnt，
当x∈（0，t）时，F′（x）=G（x）＜G（t）=0，∴F（x）在（0，t）上单调递减；
当x∈（t，+∞）时，F′（x）=G（x）＞G（t）=0，∴F（x）在（t，+∞）上单调递增，
因此F（x）≥F（t）=e^t-lnt=

1

t

+t，
由于t∈（0.5，1），∴F（x）=

1

t

+t＞2，则AB=|ex0-lnx₀|＞2．…14分
设C（x₁，ex1），D（x₂，lnx₂），则ex1=lnx₂，令ex1=lnx₂=u，则x₁=lnu，x₂=e^u，
∴CD=|x₂-x₁|=|e^u-lnu|＞2，
故S=

1

2

AB?CD＞

1

2

?2?2=2．                          …16分．