Question

设函数函数f(x)=lnx，g(x)=ax＋b/x,f(x)的图象与x轴的交点也在函数g(x)的图象上，且在此点有公共切线. （1

设函数函数f(x)=lnx，g(x)=ax＋b/x,f(x)的图象与x轴的交点也在函数g(x)的图象上，且在此点有公共切线.

（1）求a、b的值。
（2）以任意x＞0,试比较f(x)与g(x)的大小。
要有解答分析过程

Answer 1

解：

(1)

f(x)与x轴的交点(1,0)在g(x)上，

所以a+b=0,

在此点有公切线，即此点导数相等，

f'(x)=1/x,

g'(x)=a-(b/x²),

以上两式在x=1时相等，即1=a-b,

又因为a+b=0,

所以a=1/2,b=-1/2,

(2)

g(x)=(x/2)-[1/(2x)]，

f(x)=lnx,

定义域x>0,

令h(x)=f(x)-g(x)=lnx-(x/2)+1/(2x)

对x求导，得

h'(x)=(1/x)-(1/2)-[1/(2x^2)]

=[2x-x^2-1]/(2x^2)

=-(x-1)^2/(2x^2)

∵x＞0

∴h'(x)≤0

∴h(x)单调递减，

h(x)≤0

∴f(x)≤g(x)

谢谢