Question

已知函数f（x）=xn+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，若函数f（x）的图象在点P处的切线与x轴交点的横坐

已知函数f（x）=xn+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，若函数f（x）的图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2014x1+log2014x2+…+log2014x2013的值为______．

Answer 1

由题意可得P（1，1）
对函数f（x）=xⁿ⁺¹求导可得，f′（x）=（n+1）xⁿ
∴y=f（x）在点P处的切线斜率K=f′（1）=n+1，切线方程为y-1=（n+1）（x-1）
令y=0可得，x_n=

n

n+1

．
∴x₁x₂…x₂₀₁₃=

1

2

?

2

3

?

3

4

?…?

2013

2014

=

1

2014

，
∴log₂₀₁₄x₁+log₂₀₁₄x₂+log₂₀₁₄x₃+…log₂₀₁₄x₂₀₁₃=log₂₀₁₄（x₁x₂…x₂₀₁₃）=log₂₀₁₄

1

2014

=-1．
故答案为：-1．