Question

已知直线l：mx+y-2（m+1）=0与曲线C：y＝1?x2．（Ⅰ）若直线l与直线l1：2x-y+1=0垂直，求实数m的值；（Ⅱ

已知直线l：mx+y-2（m+1）=0与曲线C：y＝1?x2．（Ⅰ）若直线l与直线l1：2x-y+1=0垂直，求实数m的值；（Ⅱ）若直线l与曲线C有且仅有两个交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵直线l的斜率k₁=-m，
直线l₁的斜率k₂=2，且k₁?k₂=-1
∴m＝

1

2

（Ⅱ）∵方程y＝

1?x2

可化为x²+y²=1（y≥0）
∴曲线C是単位圆的上半圆．
又∵方程mx+y-2（m+1）=0可化为y-2=-m（x-2）
∴直线l恒过定点（2，2）．
当直线l与曲线C相切时，
由圆心到直线的距离等于半径可知

|2m+2|

1+m2

＝1?3m2+8m+3＝0?m＝

?4± 7

3

经检验知m＝

?4+ 7

3

，
当直线经过点（-1，0），直线与曲线C有两个交点，
代入直线方程可得，m=-

2

3

∴m∈[?

2

3

，

?4+ 7

3

)