Question

已知命题P：|x|+|x+12|＞a对x∈R恒成立；命题Q：已知集合M={x|x2+（a+2）x+1=0}∩{x|x＞0}=φ，若P∧Q为

已知命题P：|x|+|x+12|＞a对x∈R恒成立；命题Q：已知集合M={x|x2+（a+2）x+1=0}∩{x|x＞0}=φ，若P∧Q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

命题P中，(|x|+|x+

1

2

|)min＝

1

2

，故命题P为真时a＜

1

2

．
命题Q中，当M=φ时，由△＜0得-4＜a＜0；
当M≠φ时，△≥0，x₁+x₂≤0，x₁x₂=1＞0得a≥0．
故命题Q为真时，a＞-4；则P∧Q为真时，?4＜a＜

1

2

．
故P∧Q为假时a的取值范围为(?∞，?4]∪[

1

2

，+∞)．