Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且有Sn=2an-2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=nan，求数列{bn}的前n

已知数列{an}的前n项和为Sn，且有Sn=2an-2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）∵S_n=2a_n-2，∴S_n-1=2a_n-1-2（n≥2），
∴a_n=2a_n-1，
又∵a₁=2，∴{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n=2ⁿ；
（2）∵b_n=na_n=n?2ⁿ，
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n?2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+2×2³+…+n?2ⁿ⁺¹，
因此：-T_n=1×2+（2²+2³+…+2ⁿ）-n?2ⁿ⁺¹
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．