Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n，（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=1Sn，且数列{bn}的前n项

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n，（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=1Sn，且数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn；（3）若数列{cn}满足条件：cn+1=acn+2n，又c1=3，是否存在实数λ，使得数列{cn+λ2n}为等差数列？

Answer 1

（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+2n，
n=1时，a₁=S₁=3，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+2n）-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1，
n=1时也成立，
∴a_n=2n+1．
（2）bn＝

1

Sn

＝

1

n(n+2)

＝

1

2

(

1

n

?

1

n+2

)，
∴Tn＝

1

2

[(1?

1

3

)+(

1

2

?

1

4

)+(

1

3

?

1

5

)+…(

1

n?2

?

1

n

)+(

1

n?1

?

1

n+1

)+(

1

n

?

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

?

1

n+1

?

1

n+2

)
=

9n2+15n

4(n+1)(n+2)

（3）cn+1＝acn+2n，即cn+1＝2cn+1+2n，
假设存在这样的实数，满足条件，
又c₁=1，c₂=2c₁+1+2=9，c3＝2c2+1+22＝23，

3+λ

2

，

9+λ

4

，

23+λ

8

成等差数列，
即2×

9+λ

4

＝

3+λ

2

+

23+λ

8

，
解得λ=1，此时

cn+1+1

2n+1

?

cn+1

2n

=

cn+1＝1?2(cn+1)

2×2n

=

cn+1?2cn?1

2×2n

=

1+2n?1

2×2n

=

1

2

，
数列{

cn+1

2n

}是一个等差数列，
∴λ=1．