Question

（2014?温州一模）如图，平面ABEF⊥平面ABC，四边形ABEF为矩形，△ABC为等边三角形． O为AB的中点，OF⊥E

（2014?温州一模）如图，平面ABEF⊥平面ABC，四边形ABEF为矩形，△ABC为等边三角形． O为AB的中点，OF⊥EC．（Ⅰ）求证：OE⊥FC；（Ⅱ）若FC与平面ABC所成的角为30°求二面角F-CE-B的余弦值．

Answer 1

（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：连结OC，∵AC=BC，O是AB的中点，故OC⊥AB．   
又∵平面ABC⊥平面ABEF，
故OC⊥平面ABE，…（2分），于是OC⊥OF．
又OF⊥EC，∵OF⊥平面OEC，
∴OF⊥OE，…（4分）
又∵OC⊥OE，∴OE⊥平面OFC，
∴OE⊥FC． …（6分）
（Ⅱ）由（I）得AB=2AF．不妨设AF=1，AB=2． …（7分）
∵∠FCA为直线FC与平面ABC所成的角，∴∠FCA=30°，
∴FC=EC=2，△EFC为等边三角形．…（9分）
设FO∩EB=P，则O，B分别为PF，PE的中点，△PEC也是等边三角形．
取EC的中点M，连结FM，MP，则FM⊥CE，MP⊥CE，
∴∠FMP为二面角F-CE-B的平面角．…（12分）
在△MFP中，FM=MP=

3

，FP=2

2

，…（13分）
故cos∠FMP=

FM2+MP2?FP2

2FM?MP

=

3+3?8

3× 3 × 3

=-

1

3

，
即二面角F-CE-B的余弦值为-

1

3

．…（14分）