Question

如图，在直三棱柱ABC=A1B1C1中，∠ACB=90°，E，F，D分别是AA1，AC，BB1的中点，且CD⊥C1D．（Ⅰ）求证：

如图，在直三棱柱ABC=A1B1C1中，∠ACB=90°，E，F，D分别是AA1，AC，BB1的中点，且CD⊥C1D．（Ⅰ）求证：CD∥平面BEF；（Ⅱ）求证：平面BEF⊥平面A1C1D．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连结AD，交BE于点M，连结FM，
∵E，D分别为棱的中点，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴点M为BE的中点，而F为AC中点，
∴FM∥CD，
∵CD不包含于面BEF，FM?平面BEF，
∴CD∥平面BEF．
（Ⅱ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∠ACB=90°，
∴A₁C₁⊥面BC₁，而CD?面BC₁，
∴A₁C₁⊥CD，又∵CD⊥C₁D，
∴CD⊥平面A₁C₁D．
由（1）知FM∥CD，∴FM⊥面A₁C₁D，
而FM?面BEF，∴平面BEF⊥平面A₁C₁D．