Question

如图，已知三棱锥A-BCD，AB⊥BD，AD⊥CD，E，F分别为AC，BC的中点，且△BEC为正三角形．（1）求证：CD⊥

如图，已知三棱锥A-BCD，AB⊥BD，AD⊥CD，E，F分别为AC，BC的中点，且△BEC为正三角形．（1）求证：CD⊥平面ABD；（2）若CD=3，AC=10，求点C到平面DEF的距离．

Answer 1

（1）解：∵△BEC为正三角形，F为BC中点，
∴EF⊥BC，∵EF∥AB，∴AB⊥BC，
又∵AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD                  …（3分）
∴AB⊥CD，又∵AD⊥CD，AB∩AD=A，
∴CD⊥平面ABD                                   …（6分）
（2）设点C到平面DEF的距离为h，
∵AC=10，BE=BC=5，∴AB=2EF=5

3

，
在Rt△BDC中，∵F为BC中点，∴DF=

1

2

BC＝

5

2

，∴S△EFD＝

1

2

DF?EF＝

25 3

8

∴VC?EFD＝

1

3

S△EFD?h＝

25 3 h

24

                   …（8分）
∵CD=3，BC=5，BD=4，∴S△DFC＝

1

2

S△DBC=3．
∴VE?CFD＝

1

3

S△CFD?EF＝

5 3

2

                     …（10分）
V_C-EFD=V_E-CFD∴h＝

12

5

∴点C到平面DEF的距离为

12

5

．…（12分）