如图:在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=34x+6的图象为直线l1,l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点,垂直于
如图:在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=34x+6的图象为直线l1,l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点,垂直于l1的直线l2从C(12,0)出发沿射线CO方向,以每...
如图:在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=34x+6的图象为直线l1,l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点,垂直于l1的直线l2从C(12,0)出发沿射线CO方向,以每秒5个单位的速度运动,同时P、Q两点从A点出发,其中P沿A→B→O方向运动,速度为每秒4个单位,点Q沿射线AO方向运动,速度为每秒5各单位,当P点到达O点时,所有运动停止;(1)写出A点的坐标和AB的长;(2)当P、Q、l2运动了t秒时,以Q为圆心,PQ为半径的⊙Q与直线l2相切,求t的值.
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解答:解:(1)∵直线y=
x+6的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点,
∴y=0时,x=-8,
∴A(-8,0),AO=8,
∵图象与y轴交点坐标为:(0,6),BO=6,
∴由勾股定理得 AB=
=10.
综上所述,A(-8,0),AB=10;
(2)由题意得:AP=4t,AQ=5t,
=
=
,
又∠PAQ=∠OAB,
∴△APQ∽△AOB,
∴∠APQ=∠AOB=90°,
∵点P在l1上,
∴⊙Q在运动过程中保持与l1相切,
①如图1,当0≤t≤1.6秒时.
由题意可得PQ=DQ且AQ=FC=5t,AP=4t
∵△APQ∽△AOB,
∴
=
,
即
=
,解得PQ=3t,
∵直线l1的斜率是
,
∴直线l2的斜率为-
,
∴tan∠DFQ=
,
∴FQ=
t,
∵AQ+FQ+FC=20
∴5 t+
t+5t=20
所以t=
秒<1.6;
如图2、当1.6≤t≤2.5秒时
∵AQ+FC-FQ=20,
∴5t+5t-
t=20,
所以t=
秒>2.5(舍去),
如图3、当2.5≤t≤4秒时
∵OQ=5t-8,OF=5t-12,
∴FQ=OQ+OF=10t-20,
∵△QDF∽△AOB,
∴
=
,
即
=
,
∴DQ=8t-16,
∵OP=16-4t,OQ=5t-8,
∴PQ2=OP2+OQ2=(16-4t)2+(5t-8)2,
∵PQ=DQ,
∴(16-4t)2+(5t-8)2=(8t-16)2,
整理得:23t2-48t-40=0,
解得:t=
,t=
(舍去),
所以以Q为圆心,PQ为半径的⊙Q与直线l2相切时t的值为
秒或
秒.
3 |
4 |
∴y=0时,x=-8,
∴A(-8,0),AO=8,
∵图象与y轴交点坐标为:(0,6),BO=6,
∴由勾股定理得 AB=
62+82 |
综上所述,A(-8,0),AB=10;
(2)由题意得:AP=4t,AQ=5t,
AP |
AO |
AQ |
AB |
t |
2 |
又∠PAQ=∠OAB,
∴△APQ∽△AOB,
∴∠APQ=∠AOB=90°,
∵点P在l1上,
∴⊙Q在运动过程中保持与l1相切,
①如图1,当0≤t≤1.6秒时.
由题意可得PQ=DQ且AQ=FC=5t,AP=4t
∵△APQ∽△AOB,
∴
PQ |
OB |
AP |
OB |
即
PQ |
6 |
4t |
8 |
∵直线l1的斜率是
3 |
4 |
∴直线l2的斜率为-
4 |
3 |
∴tan∠DFQ=
4 |
3 |
∴FQ=
15 |
4 |
∵AQ+FQ+FC=20
∴5 t+
15 |
4 |
所以t=
16 |
11 |
如图2、当1.6≤t≤2.5秒时
∵AQ+FC-FQ=20,
∴5t+5t-
15 |
4 |
所以t=
16 |
5 |
如图3、当2.5≤t≤4秒时
∵OQ=5t-8,OF=5t-12,
∴FQ=OQ+OF=10t-20,
∵△QDF∽△AOB,
∴
DQ |
OA |
FQ |
AB |
即
DQ |
8 |
10t?20 |
10 |
∴DQ=8t-16,
∵OP=16-4t,OQ=5t-8,
∴PQ2=OP2+OQ2=(16-4t)2+(5t-8)2,
∵PQ=DQ,
∴(16-4t)2+(5t-8)2=(8t-16)2,
整理得:23t2-48t-40=0,
解得:t=
24+32
| ||
23 |
24?32
| ||
23 |
所以以Q为圆心,PQ为半径的⊙Q与直线l2相切时t的值为
16 |
11 |
24+32
| ||
23 |
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