Question

等比数列{an}的首项为a1，公比为q（q≠-1），用Sn→m表示这个数列的第n项到第m项共m-n+1项的和．（Ⅰ）计

等比数列{an}的首项为a1，公比为q（q≠-1），用Sn→m表示这个数列的第n项到第m项共m-n+1项的和．（Ⅰ）计算S1→3，S4→6，S7→9，并证明它们仍成等比数列；（Ⅱ）受上面（Ⅰ）的启发，你能发现更一般的规律吗？写出你发现的一般规律，并证明．

Answer 1

（Ⅰ）等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q（q≠-1），用S_n→m表示这个数列的第n项到第m项共m-n+1项的和则：S13=a₁+a₂+a₃=a1(1+q+q2)  S46=a₄+a₅+a₆=a4(1+q+q2)  S79=a₇+a₈+a₉
=a7(1+q+q2)
根据等比数列的性质：若m+n=p+q则：a_ma_n=a_pa_q
所以：a42＝a1a7
S13?S79＝S462 
即：S_1→3，S_4→6，S_7→9，它们仍成等比数列．
（Ⅱ）S0m，Sm2m，S2m3m仍成等比数列
S0m=a₁+a₂+…+a_m=a1(1+q+…+qm?1)
Sm2m=a_m+1+a_m+2+…+a_2m=am+1(1+q+…+qm?1)
S2m3m=a_2m+1+a_2m+2+…+a_3m=a2m+1(1+q+…+qm?1)
根据等比数列的性质：若m+n=p+q则：a_ma_n=a_pa_q
则：a_m+12=a₁a_2m+1
所以：Sm2m2=S0m?S2m3m