Question

（2012?凉山州）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过

（2012?凉山州）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥x轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（-4，0），B（0，4）
抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点，可得

?16?4b+c＝0 c＝4

，解得

b＝?3 c＝4

，
∴抛物线解析式为y=-x²-3x+4．
令y=0，得-x²-3x+4=0，
解得x₁=-4，x₂=1，∴C（1，0）．

（2）如答图1所示，设D（t，0）．
∵OA=OB，∴∠BAO=45°，
∴E（t，t+4），P（t，-t²-3t+4）．
PE=y_P-y_E=-t²-3t+4-t-4=-t²-4t=-（t+2）²+4，
∴当t=-2时，线段PE的长度有最大值4，此时P（-2，6）．

（3）存在．
如答图2所示，过N点作NH⊥x轴于点H．
设OH=m（m＞0），∵OA=OB，∴∠BAO=45°，
∴NH=AH=4-m，∴y_Q=4-m．
又M为OA中点，∴MH=2-m．
△MON为等腰三角形：
①若MN=ON，则H为底边OM的中点，
∴m=1，∴y_Q=4-m=3．
由-x_Q²-3x_Q+4=3，解得x_Q=

?3± 13

2

，
∴点Q坐标为（

?3+ 13

2

，3）或（

?3? 13

2

，3）；
②若MN=OM=2，则在Rt△MNH中，
根据勾股定理得：MN²=NH²+MH²，即2²=（4-m）²+（2-m）²，
化简得m²-6m+8=0，解得：m₁=2，m₂=4（不合题意，舍去）
∴y_Q=2，由-x_Q²-3x_Q+4=2，解得x_Q=

?3± 17

2

，
∴点Q坐标为（

?3+ 17

2

，2）或（

?3? 17

2

，2）；
③若ON=OM=2，则在Rt△NOH中，
根据勾股定理得：ON²=NH²+OH²，即2²=（4-m）²+m²，
化简得m²-4m+6=0，∵△=-8＜0，
∴此时不存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形．
综上所述，存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形．
所求Q点的坐标为（

?3+ 13

2

，3）或（

?3? 13

2

，3）或（

?3+ 17

2

，2）或（

?3? 17

2

，2）．