Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足：Sn=2an-2n（n∈N*）（1）求证：数列{an+2}是等比数列；（2）若数列{bn

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足：Sn=2an-2n（n∈N*）（1）求证：数列{an+2}是等比数列；（2）若数列{bn}满足bn=log2（an+2），求数列{bnan+2}的前n项和Tn；（3）（理科）若12Tn＞m2-5m对所有的n∈N*恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

解答：（1）证明：当n∈N^*时，S_n=2a_n-2n，①
当n≥2，n∈N^*时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）．②
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-2，
∴a_n=2a_n-1+2，∴a_n+2=2（a_n-1+2）
∴

an+2

an?1+2

=2．
当n=1时，S₁=2a₁-2，则a₁=2，
当n=2时，a₂=6，
∴{a_n+2}是以a₁+2为首项，以2为公比的等比数列．
（2）解：由（1）知∴a_n+2=4?2^n-1，∴a_n=2ⁿ⁺¹-2．
∴b_n=log₂（a_n+2）=log₂2ⁿ⁺¹=n+1，
得

bn

an+2

=

n+1

2n+1

，
则T_n=

2

22

+

3

23

+…+

n+1

2n+1

，③

1

2

Tn=

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

，④
③-④，得

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

?

n+1

2n+1

=

1

4

+

1 4 (1? 1 2n )

1? 1 2

?

n+1

2n+2

=

1

4

+

1

2

?

1

2n+1

?

n+1

2n+2

=

3

4

?

n+3

2n+2

，
∴Tn＝

3

2

?

n+3

2n+1

．
（3）解：∵12T_n＞m²-5m对所有的n∈N^*恒成立，
∴T_n＞

1

12

（m²-5m）对所有的n∈N^*恒成立，
∵n=1时，Tn 取最小值T1＝

3

2

?

1+3

21+1

=

1

2

，
∴依题意有

1

2

＞

1

12

(m2?5m)恒成立，
解得-1＜m＜6．
∴m的取值范围是（-1，6）．