Question

已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的中心为O，右焦点为F、右顶点为A，右准线与x轴的交点为H，则|FA||OH|的

已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的中心为O，右焦点为F、右顶点为A，右准线与x轴的交点为H，则|FA||OH|的最大值为1414．

Answer 1

依题意得，|FA|即为该椭圆右定点与右焦点间的距离，即|FA|=|OA|-|OF|，
又∵|OA|即为椭圆的长半轴长a，|OF|即为椭圆的半焦距长c，
∴|FA|=a-c．
又∵H为椭圆的右准线与x轴的交点，故|OH|即为椭圆中心到右准线的距离，依准线的定义知，|OH|=

a2

c

，则

|FA|

|OH|

=

a?c

a2 c

①
又∵椭圆的离心率e=

c

a

，（0＜e＜1），从而c=ae，代入①，得

|FA|

|OH|

=

a?ae

a2 ae

=e（1-e）=-(e?

1

2

)2+

1

4

（0＜e＜1），
当且仅当e=

1

2

时

|FA|

|OH|

取得最值

1

4

．
故答案为：

1

4

．