Question

请问x开三次方的函数在 x=0处 不可导是怎么回事呀

Answer 1

可以这样想，y=x³在0处斜率为0，那么他的反函数在x=0处斜率无穷大，所以不可导

也可以这样算：导函数为y‘=1/3x^(-2/3)，x=0时分母为0了，所以不可导

Answer 2

x开三次方的函数表示为 f(x) = ∛x。当我们考虑在 x=0 处对函数 f(x) 进行导数时，存在一个问题。
首先，我们可以计算 f(x) 的导数。对 f(x) = ∛x 应用导数的定义，我们有：
f'(x) = lim(h0) [f(x+h) - f(x)] / h
代入 f(x) = ∛x，得到：
f'(x) = lim(h0) [(∛(x+h) - ∛x) / h]
现在我们将 x=0 代入上述表达式:
f'(0) = lim(h0) [(∛h - ∛0) / h]
在这里，我们遇到一个问题。当我们尝试计算 (∛h - ∛0) / h 时，分子中的 (∛h - ∛0) 会变成不可约简的形式，这是因为在 h=0 处开立方根是无意义的。
因此，在 x=0 处，由于 (∛h - ∛0) / h 无法简化，我们无法得到定义良好的导数值。这说明在 x=0 处，x开三次方的函数不可导。
换句话说，x开三次方的函数在 x=0 处的导数不存在，因此不可导。这是因为在此点附近，函数的斜率变化异常，没有一个明确定义的切线可以用来表示导数。

Answer 3

f(x)=x^{\frac{1}{3}}
试证：f(x)在x=0处不可导。
证：根据导数的定义，只需考察如下的极限：
\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}
显然，这个极限等于
\lim\limits_{x\to 0}x^{-\frac{2}{3}}=∞，不是有限实数，所以导数不存在。

Answer 4

x开三次方的函数为 f(x) = x^(1/3)。
要判断函数在 x = 0 处是否可导，可以通过求导数来判断。导数可以用极限的概念来表示。
在 x = 0 处求导数的过程如下：
f'(x) = lim(h->0) [f(x + h) - f(x)] / h
代入函数 f(x) = x^(1/3)：
f'(x) = lim(h->0) [(x + h)^(1/3) - x^(1/3)] / h
求极限时，可以采用换元的方式，令 u = x + h，则当 h -> 0 时，u -> x：
f'(x) = lim(u->x) [(u)^(1/3) - x^(1/3)] / (u - x)
将 u 替换回 x+h，得到：
f'(x) = lim(h->0) [(x + h)^(1/3) - x^(1/3)] / h
注意，这个极限的计算不是直接求值，而是通过其他方法来判断。在这里，我们来计算这个极限：
f'(0) = lim(h->0) [(0 + h)^(1/3) - 0^(1/3)] / h
根据极限的性质，我们可以将其中的项进行简化：
f'(0) = lim(h->0) [h^(1/3)] / h
然而，这个极限并不能直接求出，因为在 h = 0 时，分子为 0，分母也为 0，不能直接计算。这表明在 x = 0 处，函数 f(x) = x^(1/3) 不具有导数，即在该点不可导。
总结起来，“x开三次方的函数在 x = 0 处不可导”的原因在于，在求导过程中，计算出的极限值无法存在。这是因为该函数在 x = 0 处存在垂直切线，导数不存在。