Question

图中的题，为什么用等价高阶无穷小的方法算得结果和用泰勒公式的不一样？

Answer 1

呵呵呵,今天碰到是第三个把等价无穷小运用到加减法上的人了,真是搞笑.
如果你觉得可以等价替换用在加减法的话,例如我让你求极限lim(x→0)(x-sinx)/x³
我们有x-sinx~x³/6,所以正确解法应该是lim(x→0)(x³/6)/x³=1/6
洛必达法则验算的结果也是lim(x→0)(1-cosx)/3x²=lim(x→0)sinx/6x=lim(x→0)cosx/6=1/6,结果正确.
那问题来了,你为什麼不直接在加减法上把sinx换成x,然後变成x-x=0?极限直接得0?可能有这样的事情么?
我们说等价无穷小的替换,如果α~α',β~β',那麼lim(α/β)=lim(α'/β'),是分子分母整体给替代掉,不是给你从α或者β里面截取一部分等价替代的啊.
如果你觉得x-sinx可以替代成x-x=0,相当於你认为x-sinx~0,那麼求极限,lim(x→0)(x-sinx)/0=lim(x→0)(1-cosx)/0=lim(x→0)sinx/0=lim(x→0)cosx/0=1/0=∞,这个是等价无穷小?

追问

那这么做呢是哪里错了+_+

追答

你家求导1-cosx=1+sinx的?常数1求导之後还得1,我也是醉了.

追问

呃…我也醉了=_=谢谢

还是1/2啊(☆_☆)

追答

你不要以为你把分子拆成两项之和以後就可以用等价替换了.你觉得有意思么?你的做法是什麼我告诉你,是分母先用x³换了之後,分子还是sinx-xcosx,拆成两项的极限,变成sinx/x³-xcosx/x³,等价替换得到1/x²-cosx/x²=(1-cosx)/x²
你能不能回头反省一下你第一次做错的时候是怎麼代的,是直接在(sinx-xcosx)/x³这里用x代替了sinx,然後化简结果就是(1-cosx)/x².有区别吗?你只要化出这个结果你就是错我告诉你.
为什麼错我再仔细跟你讲一遍.求(A+B)/C极限的时候,我们不能只对A使用等价无穷小D替换,变成(D+B)/C.那麼同样的,你用极限的四则运算在出现加减法的时候也不能换知道了吗?我拆成A/C+B/C,把A换成D,变成D/C+B/C=(D+B)/C,这不还是在只换A吗?

追问

那么这样成立么？

追答

这样成立

追问

不好意思再问一下、那这样不就和上面一样了么？

追答

白天上班没仔细看,现在我告诉你哪里错.
你在用极限的四则运算法则的时候,必须是每个函数的极限都存在.
这道题里面由於当x→0时1/sin²x和cosx/sin²x的极限不存在,或者说是未定式∞-∞,所以不能用四则运算法则.

追问

好的、谢谢你^_^问了这么多不好意思哈～但讲的很详细！

Answer 2

分子上减法运算不可以用无穷小代换