Question

若正实数x y满足x+y=1 则4/x+9/y的最小值是

Answer 1

∵x,y>0 ,x+y=1
∴4/x+9/y=4（x+y）/x+9（x+y）/y=13+4y/x+9x/y≥13+2√（4y/x*9x/y）=13+12=25
当且仅当4y/x=9x/y时成立，解4y/x=9x/y,x+y=1 得x=0.4 ，y=0.6
所以/x+9/y的最小值是 25

Answer 2

解：由题设及柯西不等式可得：(4/x)+(9/y)=(x+y)[(4/x)+(9/y)]≥(2+3)²=25.即恒有(4/x)+(9/y)≥25.等号仅当x=2/5,y=3/5时取得。∴[(4/x)+(9/y)]min=25.

Answer 3

y=1-x
4/x+9/y=4/x+9/(1-x)
令f(x)=4/x+9/(1-x)
现在用微积分运算
f'(x)=-4/(x^2)+9/[(1-x)^2]
要寻找极值
让 f'(x)=0
则 -4/(x^2)+9/[(1-x)^2]=0
-4[(1-x)^2]+9(x^2)=0
-4[1+x^2-2x]+9x^2=0
5x^2+8x-4=0
解得 x=0.4 (x=-2舍去）
y=1-0.4=0.6
所以4/x+9/y的最小值是25