Question

几个关于线性代数的问题？

1向量方程AB=C有解等价于C的行向量可用B的行向量线性表示等价于C的列向量可用A的列向量表示吗？
2AX=b有解的充分不必要条件是（）
（A）b可由A的行向量线性表示 （B）b可由A的行向量线性表示
(C)A的行向量线性相关（D）A的列向量线性相关
3 已知n维向量a1，a2，一直到as可由向量b1一直到bs线性表示且a1到as线性无关，试证明 b1到bs线性无关且可由a1到as线性表示？
(B)选项写错了是b可由A的列向量线性表示

Answer 1

1、对
2、D
3、令A=(a1,a2,……,as),B=(b1,b2……,bs)
A可由B线性表示，则存在系数矩阵P，使得A=BP。因为A线性无关，r(B)>=r(A)=s，但根据秩的定义r(B)<=s,所以r(B)=s，故B无关，因此P可逆，故B=AP-1，即B可由A线性表示
证毕！

追问

为什么（D）正确 （B）是充要条件吗？
为什么A，B都无关A=BP就可得到 p可逆，我基础差蛮烦步奏详细一点，谢谢！

追答

3\因为r(A)=r(B)=s所以A和B列等价，所以存在可逆矩阵P使得A=BP,从而B=AP-1
2\（B）应该是 b可由A的列向量线性表示，那么B是充要条件
这题好像没答案。你确定题目抄对了么