Question

关于线性代数的一个问题

这是考研李永乐真题上的一句话：方程组Ax=0有非零解的充要条件是列向量组α1，α2……αn，线性相关。
可是有一道考研真题是这样的：
设αi=(αi1，αi2，.......αin)T。（i=1,2,3.....；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，....αr线性无关。已知β=（b1,b2,.....bn)T是线性方程组
a11x1+a12x2+.......+a1nxn=0
以下省略..............................
就是以向量组αi为系数的那个方程组，的非零解向量。试判断向量组α1，α2，.....αr，ββ的线性相关性。
我的疑惑是，有非零解的充要条件是列向量组α1，α2....αn线性相关，可是上面的题β是非零解，但α1，α2.....αr却线性无关，我的对问题理解错误出在哪？急急急

Answer 1

Ax=0 有非零解<=> A的列向量组线性相关

你给的那个方程组的的系数矩阵 A 是以 αi 为行向量构成的
所以 r(A) = r < n
所以 Ax=0 有非零解.

另: β是齐次线性方程组Ax=0 的解的充要条件是 β 与A的行向量正交
所以 β 与 αi 正交
故向量组线性无关.

Answer 2

R小于N的条件
R个无关 例如 100,010,001 这三个线性无关
那么N个 100,010,001,011，这四个就是线性相关了
大概就这么个意思吧

Answer 3

r小于n，不能得出α1，α2....αn 这n个向量无关，只知道，r个无关

Answer 4

r＜n