Question

如何证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

Answer 1

证法1：

ΔABC是直角三角形，作AB的垂直平分线n交BC于D

∴ AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）

以DB为半径，D为圆心画弧，与BC在D的另一侧交于C'

∴DC’=AD=BD∴∠BAD=∠ABD ∠C’AD=∠AC’D （等边对等角）

又∵∠BAD+∠ABD+∠C’AD+∠AC’D =180°（三角形内角和定理）

∴∠BAD+∠C’AD=90° 即：∠BAC’=90°

又∵∠BAC=90°

∴∠BAC=∠BAC’

∴C与C’重合（也可用垂直公理证明 ：假使C与C’不重合 由于CA⊥AB，C’A⊥AB 故过A有CA、C’A两条直线与AB垂直 这就与垂直公理矛盾 ∴假设不成立 ∴C与C’重合）

∴DC=AD=BD∴AD是BC上的中线且AD=BC/2这就是直角三角形斜边上的中线定理

证法2：

ΔABC是直角三角形，AD是BC上的中线，作AB的中点E，连接DE

∴BD=CB/2，DE是ΔABC的中位线

∴DE‖AC（三角形的中位线平行于第三边）

∴∠DEB=∠CAB=90°（两直线平行，同位角相等）

∴DE⊥AB

∴E是AB的垂直平分线

∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）

∴AD=CB/2

证法3：运用向量证明

已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线。求证BC=2AD

证明：设向量AC=b，向量AB=c，向量BC=a，向量AD=d

∵AD是BC的中线　

∴c+b=2d

∴（c+b）²=4d²

展开括号，得|c|²+2c·b+|b|²=4|d|²

又∵c⊥b

∴c·b=0，|c|²+|b|²=|a|²

∴得|a|²=4|d|²

开方得|a|=2|d|，即BC=2AD

证法4：运用矩形的性质证明

延长AD到E,使DE=AD,连接BE,CE

∵BD=CD，∠BAC=90°

∴四边形ABEC是矩形

∴BC=AE=2AD

证法5：解析几何证明

以A为原点，AC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，并设C（2c,0），B（0，2b），那么D（c，b）

|AD|=

|BC|==2|AD|

证法6：圆

作Rt△ABC外接圆

∵∠BAC=90°

∴BC是直径（90°的圆周角所对的弦是直径）

∴D是圆心，AD是半径

∴BC=2AD

Answer 2

　　证法1：
　　ΔABC是直角三角形，作AB的垂直平分线n交BC于D
　　∴ AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）
　　以DB为半径，D为圆心画弧，与BC在D的另一侧交于C'
　　∴DC’=AD=BD∴∠BAD=∠ABD ∠C’AD=∠AC’D （等边对等角）
　　又∵∠BAD+∠ABD+∠C’AD+∠AC’D =180°（三角形内角和定理）
　　∴∠BAD+∠C’AD=90° 即：∠BAC’=90°
　　又∵∠BAC=90°
　　∴∠BAC=∠BAC’
　　∴C与C’重合（也可用垂直公理证明 ：假使C与C’不重合 由于CA⊥AB，C’A⊥AB 故过A有CA、C’A两条直线与AB垂直 这就与垂直公理矛盾 ∴假设不成立 ∴C与C’重合）
　　∴DC=AD=BD∴AD是BC上的中线且AD=BC/2这就是直角三角形斜边上的中线定理
　　证法2：
　　ΔABC是直角三角形，AD是BC上的中线，作AB的中点E，连接DE
　　∴BD=CB/2，DE是ΔABC的中位线
　　∴DE‖AC（三角形的中位线平行于第三边）
　　∴∠DEB=∠CAB=90°（两直线平行，同位角相等）
　　∴DE⊥AB
　　∴E是AB的垂直平分线
　　∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）
　　∴AD=CB/2

Answer 3

证法1：
ΔABC是直角三角形，作AB的垂直平分线n交BC于D
∴ AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）
以DB为半径，D为圆心画弧，与BC在D的另一侧交于C'
∴DC’=AD=BD∴∠BAD=∠ABD ∠C’AD=∠AC’D （等边对等角）
又∵∠BAD+∠ABD+∠C’AD+∠AC’D =180°（三角形内角和定理）
∴∠BAD+∠C’AD=90° 即：∠BAC’=90°
又∵∠BAC=90°
∴∠BAC=∠BAC’
∴C与C’重合（也可用垂直公理证明 ：假使C与C’不重合 由于CA⊥AB，C’A⊥AB 故过A有CA、C’A两条直线与AB垂直 这就与垂直公理矛盾 ∴假设不成立 ∴C与C’重合）
∴DC=AD=BD∴AD是BC上的中线且AD=BC/2这就是直角三角形斜边上的中线定理

Answer 4