Question

单调函数的不连续点至多可数个，怎么证明

Answer 1

比如函数f(x)=x， 定义域x为所有整数。

则f(x)是单调增的。

但它在定义域内的每一点都不连续。

非单调函数：y=sinx、y=cosx、y=x^2等。

y=sinx、y=cosx在（-∞，+∞）的区间上呈周期特性，所以不是单调函数。

y=x^2在(0,+∞)上是增函数；在(-∞,0)上是减函数，所以在（-∞，+∞）的区间上不是单调函数。

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时都有f(x1)< f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数。

如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1>x2时都有f(x1)>f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。

Answer 2

引用dennis_zyp的回答：
这是不对的。比如函数f(x)=x, 定义域x为所有整数，则f(x)是单调增的，但它在定义域内的每一点都不连续。

最佳答案给来了个不对，我也是醉了。下面引用别人的比较好理解的证明。
增函数的间断点必定是第一类的跳跃间断点,每一间断点x对应了开区间（f(x-),f(x+)）,其中f(x-)为左极限,f(x+)为右极限. 所有的开区间（f(x-),f(x+)）是两两不相交的,而直线上两两不相交的的开区间至多有可数个,因此增函数的间断点最多有可数个.

Answer 3

用有理数做标记吧。每个间断点都存在不相交的邻域，这些邻域里至少有一个有理数，有理数是可数的，所以这些间断点也至多可数。

Answer 4

引理：直线上互不相交的开区间的全体所构成的集合至多可数

Answer 5

这是不对的。比如函数f(x)=x, 定义域x为所有整数，则f(x)是单调增的，但它在定义域内的每一点都不连续。