Question

证明 单调递增函数的不连续点至多有可列个

实变函数课上老师布置的，求大神指点

Answer 1

设该函数不连续点集合为E，则对于E内的任意x，应该有f﹢(x)≠f-(x)，而且f单调递增，故应有f+(x）>f-(x)，由递增性可知对于任意x1，x2，区间（f-(x1)，f+(x1)）、（f-(x2)，f+(x2)）互不相交，由此构建一个区间族Eγ，Eγ的每一个元素都可以找到一个有理数与之一一相对，有理数可列，因而Eγ的元素可列，而Eγ的元素与E中元素一一对应，因此E元素可列，得证。（前提：假设该函数处处有限）

追问

我很不理解有限的概念，书上说是对定义域内任意的x，都有f(x)小于正无穷，照这么说还有无限的函数吗？给我感觉是比如f(x)=1/x在（0,1）是有限的，在[0,1)是无限的，这样理解对吗？？那岂不是f(x)在x=0时也有取值为正无穷了？？？

追答

所谓处处有限，也就是每一个点的取值都不是无穷，比如你说的f(x)=1/x在（0,1）就是无界的，因为找不到一个正实数M使得|f(x)|<M，但是它是处处有限的，因为每一个点都有确切的实数值。有界是针对整个点集的，而处处有限是针对一个点的。这和数学分析的点点连续和一致连续的概念有点像，希望能帮到你。另外f(x)=1/x在x=0是没有定义的，所以不能说它的取值一定是无穷，你可以人为定义一个值，比如说令f(0）=0，或者是无穷也可以。

Answer 2

你吧具体的题目拍张照给我看一下吧，之前我高考数学是全校第二相信我