Question

设定义在R上的函数f﹙x﹚满足对于任意x,y属于R，f（x+y）=f（x）+f（y）/1-f（x）f（y）

设定义在R上的函数f﹙x﹚满足对于任意x,y属于R，f（x+y）=f（x）+f（y）/1-f（x）f（y），f（a)=1,
(1）求f(0)
(2）判断f(x)奇偶性
（3）求证：4a为f(x)周期

Answer 1

　1.函数f(x)为奇函数。
　　证明：令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0
　　再令y=-x，得f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x)，∴函数f(x)为奇函数。
　　2.先判断f(x)在R上的单调性：
　　设0<x1<x2时，则x2-x1>0
　　∵ x，y∈R时都有f(x+y)=f(x)+f(y) ，∴ f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)
　　又∵ 当x>0时，f(x)<0 ，∴ f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)<0
　　又∵ f(x)为奇函数,即：f(-x)=-f(x) ，∴f(x2)-f(x1)<0，即f(x1)>f(x2)
　　∴f(x)在(0,+∞)上为减函数，
　　又∵函数f(x)为奇函数，∴f(x)在R上为减函数.
　　故f(x)在-3≤x≤3时有最值，且最大值为f(-3)，最小值为f(3)。
　　令x=y=1,则f(2)=f(1)+f(1)=-4,
　　∴最小值f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=-4-2=-6,
　　最大值f(-3)=-f(3)=6。

追问

f（x+y）=f（x）+f（y）/1-f（x）f（y）,这个地方是个分式

追答

我是复制的，你节哀顺变吧。

Answer 2

(1)f(0)=f(0+a)=[f(0)+f(a)]/[1-f(0)f(a)=f(0)/[1-f(0)]
f(0)=f(0)/[1-f(0)]
1-f(0)=1
f(0)=0
(2)f(0)=f(a-a)
=[f(a)+f(-a)]/[1-f(a)f(-a)]
=[1+f(-a)]/[1-f(-a)]
则f(-a)=-1
即f(a)=-f(-a)
所以f(x)为奇函数.
(3)f(x+a)=[1+f(x)]/[1-f(x)]
f(x+2a)
=f(x+a+a)
=[1+f(x+a)]/[1-f(x+a)]
={1+[1+f(x)]/[1-f(x)]}/{1-[1+f(x)]/[1-f(x)]}
=[2/[1-f(x)]/{-2f(x)/[1-f(x)]}
=-1/f(x)
f(x+4a)
=f(x+2a+2a)
=-1/f(x+2a)
=-1/[-1/f(x)]
=f(x)
故4a是f(x)的周期