Question

如图，点A,B为直线y=x上两点，过A,B两点分别作y轴的平行线交y=1/x (x>0)于C,D两点。

若BD=2AC，则4倍OC的平方-OD的平方=？

格式要求清晰、规范～
如图

Answer 1

高清图！

Answer 2

由于没有图，我直接用语言描述了，会写的稍微详细一点。其中，^2表示平方。

由已知可知，A（a，a），B（b，b），C（a，1/a），D（b，1/b）
因为AC、BD所在直线平行于Y轴，所以，BD=b-1/b=2AC=2（a-1/a）；
设AC与X轴交于M，BD与X轴交于N，OM=a，MC=1/a，ON=b，ND=1/b；
4OC^2-OD^2=4（MC^2+OM^2）-（ND^2+ON^2）
=4（1/a^2+a^2）-（1/b^2+b^2）

进一步的，因为b-1/b=2（a-1/a），
所以，（b-1/b）^2=4（a-1/a）^2
1/b^2-2+b^2=4（1/a^2-2+a^2）
1/b^2+b^2=4（1/a^2+a^2）-6
代入之前的式子
4OC^2-OD^2=4（1/a^2+a^2）-（1/b^2+b^2）=6

Answer 3

解：因为点A,B为直线y=x上，设A（a,a) B(b,b)
又AC，BD平行于Y轴，交y=1/x相交，得C（a,1/a) D(b,1/b)
BD=b-1/b
AC=a-1a
因BD=2AC
则 b-1/b=2a-2/a 两边同时平方
4a^2+4/a^2=b^2+1/b^2+6
又OC^2=a^2+1/a^2
OD^2=b^2+1/b^2
所以4OC^2-OD^2=4a^2+4/a^2-b^2-1/b^2=b^2+1/b^2+6-b^2-1/b^2=6
所以4倍OC的平方-OD的平方=6

Answer 4

解：设C点坐标为(x,y),D点坐标为(m,n),
因为A,B为直线y=x上，则易知A点坐标为(x,x),B(m,m)；
由BD=2AC，C、D点在曲线y=1/x (x>0)，得
BD=m-n=2AC=2*(x-y) ……1式 ——‘纵坐标相减
x*y=1 ……2式
m*n=1 ……3式
1式两边平方得m^2-2m*n+n^2=4*(x^2-2*x*y+y^2) ……4式
2、3式代入4式得
m^2+n^2-2=4(x^2+y^2-2),即4(x^2+y^2)-(m^2+n^2)=6
又因为OC的平方=x^2+y^2,OD的平方=m^2+n^2,
所以4倍OC的平方-OD的平方=4(x^2+y^2)-(m^2+n^2)=6

Answer 5

因为点A，B在直线y=x上，所以可设A(m,m)，B(n,n)，
因为直线AC，BD都平行于y轴，所以点C，D分别与点A，B的横坐标相同，
又因为点C，D在双曲线y=1/x上，所以C(m,1/m)，D(n,1/n)，
由此可知，AC=m-1/m，BD=n-1/n，
由已知条件BD=2AC，可得n-1/n=2（m-1/m），
两边同时平方得，n^2+1/n^2-2=4(m^2+1/m^2)-8
即4(m^2+1/m^2)-(n^2+1/n^2)=6.
又因为4*OC^2=4(m^2+1/m^2)，OD^2=n^2+1/n^2,
所以4倍OC的平方-OD的平方=6