Question

多元函数的计算题，急，求过程

详情见图

Answer 1

解：对z=f(xy,x+2y)求全微分得：dz=(xdy+ydx)f1'+(dx+2dy)f2'
【这里f1',f2'表示的分别是f对xy整体和对(x+2y)整体的求导,一般可直接写，不需要解释】
即dz=(yf1'+f2')dx+(xf1'+2f2')dy
由多元函数微分的定义知：dz/dx= yf1'+f2', dz/dy= xf1'+2f2'.
d^2z/(dxdy)=f1'+y(xf11'+2f12')+(xf21'+2f22')
【这里f11'和f22'分别表示的是f1'对(xy)整体求导和f2'对(x+2y)整体求导;
f12'和f21'分别表示的是f1'对（x+2y)整体的求导和f2'对(xy)整体的求导】
又 有结论：初等函数（偏导数存在且连续）在求复合偏导数时d^2z/(dxdy)=d^2z/(dydx)
即这里的f12'=f21'
亦即d^2z/(dxdy)=f1'+xyf11'+2f22'+(x+2y)f12'.

Answer 2

解：对z=f(xy,x+2y)求全微分得：dz=(xdy+ydx)f1'+(dx+2dy)f2'
即dz=(yf1'+f2')dx+(xf1'+2f2')dy
由多元函数微分的定义知：dz/dx= yf1'+f2', dz/dy= xf1'+2f2'.
d^2z/(dxdy)=f1'+y(xf11'+2f12')+(xf21'+2f22';
f12'和f21'分别表示的是f1'对（x+2y)整体的求导和f2'对(xy)整体的求导】
又 有结论：初等函数（偏导数存在且连续）在求复合偏导数时d^2z/(dxdy)=d^2z/(dydx)
即这里的f12'=f21'
亦即d^2z/(dxdy)=f1'+xyf11'+2f22'+(x+2y)f12'

Answer 3

看图

Answer 4

解：
令u=xy;v=x+2y
d表示求偏导；
dz/dx=df/dx=(df/du)(du/dx)+(df/dv)(dv/dx)=y(df/du)+(df/dv)
dz/dy=df/dy=(df/du)(du/dy)+(df/dv)(dv/dy)=x(df/du)+2(df/dv)
d^2z/dxdy=d(dz/dx)/dy=(df/du)+yd(df/du)/dy+d(df/dv)/dy