Question

关于函数存在零点的问题如何解决？

比如一个函数有一个参数 这个函数在(a,b)有解 一般是用f(a)*f(b)<0来解这个参数
但是这个题
若函数f( x)=log2(x+1/x)-a在区间(1,2)内有零点,则a的取值范围
答案上不用f(a)*f(b)<0来解 为什么？用f(a)*f(b)<0可以算出来吗？

Answer 1

f(a)·f(b)<0必然存在零点
但如f(x)=x²-3x+2=(x-1)(x-2),在[0,3]有两个零点。

此时：f(0)=2,f(3)=2，f(0)·f(3)>0
∴f(a)·f(b)>0,不代表[a,b]无零点。
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f(x)=log₂(x+1/x)-a
f'(x)=(x²-1)/ln2(x³+x)
驻点：x=±1，均不在区间范围内。
∵x>1,f'(x)>0,f(x)单调递增
∴f(1)<f(x)<f(2)
f(1)=1-a,f(2)=log₂2.5-a
1-a<0
log₂2.5-a>0
1<a<log₂2.5

追问

有题目用f(a)·f(b)<0 有的不用这个来解 问法会不会不一样？

追答

单调函数可以用f(a)·f(b)0,最小值0,极小值0,极小值=0）有二个零点
极大值>0,极小值>0,（或极大值<0,极小值<0）有一个零点

Answer 2

常用的有二分法,或者是图像与x轴有没有焦点,这是图像法.
1.使用二分法要进行判断,方法主要是要证明f(x)在（a,b)内与y轴有交点的最常用方法是f(a)*f(b)<0
2.第一步,先对函数求导,判断其单调性；第二步,根据单调区间,确定函数有没有零点.