Question

如何用算术基本定理证明根号10是无理数

用算术基本定理对√2是无理数的证明是这样的：
假设√2为有理数，√2=p/q,(p,q之间互质)，则p^2=2q^2
根据算术基本定理，p,q都能唯一分解成有限个素数的乘积，写成形式为p=m1*m2*……ms, q=n1*n2……nd,对于p^2就有2s个素数，q^2
有2d个素数，2q^2就有2d+1个素数了，而2s是偶数，2d+1是奇数，那么这就违反了算术基本定理的唯一分解性，假设不成立，从而说明√2为无理数。
但是用同样的方法证明√10的时候，因为10=2*5，所以分解到最后等式两边的素数个数都变成了偶数了，不知道到底错在哪儿了？有提示：考虑素因数2的个数，或是素因数5的个数，那么这个提示究竟怎么理解呢，还请高手指点！

Answer 1

设√10为有理数，不妨设√10=n/m(n,m之间互质)
则n^2=10m^2
可见n^2是10的倍数
按原理n是10的倍数
设n=10k
代入得m^2=10k^2
可见m^2是10的倍数
按原理m是10的倍数
但这与m,n互质矛盾
所以√10不是有理数

Answer 2

先 设 根号10=p/q, p ,q互 为 质数 ，然 后 用 反 证 法 ， 具 体 参 见 下 面 这 个 链 接 里 的 反 证 法 ：
http://zhidao.baidu.com/question/63161656.html

Answer 3

我同意这种证明方法：
设√10为有理数，不妨设√10=n/m(n,m之间互质)
则n^2=10m^2可见n^2是10的倍数
按原理n是10的倍数
设n=10k
代入得m^2=10k^2
可见m^2是10的倍数
按原理m是10的倍数
但这与m,n互质矛盾
所以√10不是有理数

追问

这种是最普遍的，还有另外一种本质的方法，是要在反证法证明中加入用算术基本定理的，根据分解成素数个数的不统一从而说明假设√10为有理数是不成立的，你们提供的还不是我要的答案