Question

如图，在正方形ABCD中，点P是AD边上的一个动点，连接PB．过点B作一条射线与边DC的延长线交于

如图，在正方形ABCD中，点P是AD边上的一个动点，连接PB．过点B作一条射线与边DC的延长线交于点Q，使得∠QBE＝∠PBC，其中E是边AB延长线上的点，连接PQ.
(1)求证：△PBQ是等腰直角三角形；
(2)若PQ2＝PB2＋PD2＋1，求△PAB的面积．

Answer 1

（1）证明：∵∠ABC=∠BCE=90°，∠PBC=∠QBE
∴∠ABP=∠CBQ，∠PBC+∠CBQ=∠PBQ=90°
∵AB=BC，∠BAD=∠BCQ=90°
∴Rt△ABP≌Rt△CBQ（ASA）
∴PB=QB（Rt△ABP≌Rt△CBQ），即△PBQ是等要直角三角形
（2）P²＝2BP²＝BP²+AB²+AP²❶
PQ²＝PB²＋PD²＋1❷
联立❶❷可得
AB²+AP²＝PD²＋1❸
将PD＝AD－AP＝AB－AP代入❸式中得
AB²+AP²=(AB-AP)²+1
2AB·AP＝1

∴S△PAB=½AB·AP=¼
答：△PAB的面积为¼。

Answer 2

（1）证三角形ABP全等于三角形BCQ即可。
（2）PQ2＝2BP2＝BP2+AB2+AP2
联立已知等式得：AB2+AP2＝PD2＋1

将PD＝AD－AP＝AB－AP代入（即替换掉PD）并整理得：2AB·AP＝1，得解。（答案为：1/4）