Question

一到关于勾股定理的数学几何题

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且 PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数

Answer 1

解：将△PBA绕B点顺时针旋转90°至BC与AB重合，得到一个新的△GBC，可知：BG=PB=2，∠ABP=∠GBC，
由于∠PBC+∠ABP=90°，所以∠PBG=∠PBC+∠GBC=∠PBC+∠ABP=90°，则△PBG是一个等腰直角三角形，
故：∠BPG=45°，
由勾股定理，得:PG^2=PB^2+BG^2=2^2+2^2=8，
另外，在△PGC中，GC^2+PG^2=1^2+8=9=PC^2，由勾股定理知：△PGC是一个以∠PGC为直角的直角三角形，即∠PGC=90°。
综上得：∠APB=∠BGC=∠PGC+∠BGP=90°+45°=135°
所以∠BPC=180°-135°=45°

Answer 2

将△BPC沿着点C旋转至BC与AC重合，连接点P和B'，可得等腰直角△PCB'， B'P=2√2,所以∠CB'P=45°，
由于AB'=1,AP=3,可知AP²=AB'²+B'P²
所以∠AB'P=90°
所以∠AB'C=135°
即∠ABC=135°

Answer 3

我的思维比较特殊：用旋转
将三角形BCP绕点C旋转，使BC与AC重合，P对应点P’
连接PP‘
所以角PCP‘=90°，PC=PC'=2，P'A=1
所以角CP'P=45°,PP'=2根号2
因为AP'=1,PP'=2根号2,AP=3
所以角AP'P=90°
所以角AP'C=角BPC=135°

Answer 4

设∠BPC的度数为a，∠CPA的度数为r，∠BPA的度数为b，则：
AB = 1 + 9 - 2*3 Cos[b]
AC = 4 + 9 - 2*6 Cos[r]
BC = 1 + 4 - 2*2 Cos[a]
AB^2 = BC^2 + AC^2
a + b + r =2Pi
0.5*1*2 Sin[a] + 0.5*1*3 Sin[b] + 0.5*2*3 Sin[r] = 0.5 BC*AC
解这方程即可

Answer 5

Cos BPC = - √2 / 2
∠BPC = 135°

Answer 6

∠ABC=135