Question

如图，p为x轴正半轴上一点，半圆p交x轴与A，B两点，交y轴于c点，弦AE分别交oc，CB于点D,F，已知AB弧等于CE

（1）求证:AD=CD
(2)若DF=5/4，tan角ECB=3/4，求经过A，B，C三点的抛物线的解析式

Answer 1

（1）证明：连接AC，
∵AB为半圆P的直径，
∴∠=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
又∵∠ACO=90°，
∴∠ABC+∠BCO=90°，
∴∠ACO=∠ABC，
∵ AC^=CE^，
∴∠ABC=∠CAE，
∴∠ACO=∠CAE，
∴AD=CD．
（2）解：∵∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠CFA=90°，∠ACO+∠BCO=∠90°，
∴∠BCO=∠CFA，
∴CD=DF，
∴AD=CD=DF= 54，
∴OD= 34OA；
由勾股定理得OA2+OD2=AD2
∴OA2+（ 34AD）2=（ 54）2
∴OA=1，OD= 34，
∴OC= 34+54=2，
由相交弦定理得OC2=4，
∴A点坐标为（-1，0），B点坐标为（4，0），C点坐标为（0，2），
设过A，B，C三点的抛物线解析式为y=a（x+1）（x-1），
∴a=- 12，
∴y=- 12（x+1）（x-4）=- 12x2+ 32x+2．