Question

狄利克雷函数任一点的单侧极限是否存在

任一点的极限是肯定不存在的，那么单侧极限呢？请简单说明谢谢

Answer 1

狄利克雷函数任一点的单侧极限也是不存在的，证明和双侧极限不存在的证明一样。

在一点a极限存在是意味着当x不管用什么方式趋向a时对应的函数值都趋向同一个常数。那么如果a是有理数时：a+1/n也是有理数，D氏函数在这些点上的值D(a+1/n)=0,当n趋向无穷时，a+1/n趋向a，对应的D氏函数趋向0。

但这时a+（根号2）/n是无理数，D氏函数在这些点上的值D(a+根号（2）/n)=1，当n趋向无穷时，a+根号（2）/n趋向a， 而对应的D氏函数趋向1。说明当x趋向a时极限不存在。

分析性质

1、处处不连续。

2、处处不可导。

3、在任何区间内黎曼不可积。

4、函数是可测函数。

5、在单位区间[0,1]上勒贝格可积，且勒贝格积分值为0（且任意区间<a,b>以及R上甚至任何R的可测子集上（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）。

Answer 2

　　狄利克雷函数任一点的单侧极限也是不存在的，证明和双侧极限不存在的证明一样。