Question

已知圆C与y轴相切，圆心点C在直线x-3y=0上，且直线y=x被圆C所截得的线段

已知圆C与y轴相切，圆心点C在直线x-3y=0上，且直线y=x被圆C所截得的线段的长为2根号7，求圆C的方程

Answer 1

设出圆心C的坐标为（a，b），半径为r，根据圆心C在直线x-3y=0上，列出关于a与b的关系式，用b表示出a，同时根据圆C与y轴相切，得到圆的半径r=|a|，由直线y=x与圆相交，利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线y=x的距离d，根据弦长的一半，弦心距d及圆的半径r构成直角三角形，利用勾股定理列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，进而得到a与半径的值，写出圆C的方程即可

设圆C的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，
此时圆心坐标为（a，b），半径为r，
把圆心坐标代入直线x-3y=0中得：a=3b，
又圆C与y轴相切，∴r=|a|，
∵圆心C到直线y=x的距离d=|a-b| 2 = 2 |b|，弦长的一半为 7 ，
∴根据勾股定理得：2b2+7=a2=9b2，解得b=±1，
若b=1，a=3，r=3，此时圆C的标准方程为（x-3）2+（y-1）2=9；
若b=-1，a=-3，r=3，此时圆C的标准方程为（x+3）2+（y+1）2=9，
综上，圆C的标准方程为（x-3）2+（y-1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9．

Answer 2

到y轴距离等于半径
r=|a|
圆心(a,b)在直线x-3y=0上
a=3b
(x-3b)^2+(y-b)^2=9b^2

AB=2√7
中点是D
则AD=√7，AC=r=|3b|
CD=√(9b^2-7)
|3b-b|/√(1+1)=√(9b^2-7)
b=±1
(x-3)^2+(y-1)^2=9
(x+3)^2+(y+1)^2=9b^2

Answer 3

求导
2x+5y^4*y'-2(y+x*y')=0
y'=(2x-2y)/(2x-5y^4)
x=y=1
所以y'=0
所以切线斜率是0
所以是y=1

法线垂直切线
所以法线是x=1