Question

计算∫∫∫dxdydz/(1+x+y+z)³,其中Ω为平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的四面体

Answer 1

作变换x=rcosa,y=rsina,则

I=∫<0,4>dz∫<0,2π>da∫<0,√(2z)>(r^2+z)rdr

=(π/2）∫<0,4>(8z^2)dz

=256π/3.Ω就是自0<x<1，0<y<1-x，0<z<1-x-y

∫∫∫(x+y+z)dxdydz

= ∫(0,1)dx∫(0,1-x)dy∫(0,1-x-y)(x+y+z)dz

= ∫(0,1)dx∫(0,1-x)dy[x(1-x-y) + y(1-x-y) + (1-x-y)²/2]

= ∫(0,1)dx [(1-x)(1-x²)/2 - x(1-x)²/2 - (1-x)³/6]

= [(x^4)/24 - x²/4+ x/3]|(0,1)

= 1/8

扩展资料：

设Ω为空间有界闭区域，f（x，y，z）在Ω上连续

适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法

⑴先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。

①区域条件：对积分区域Ω无限制；

②函数条件：对f（x,y,z）无限制。

⑵先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。

①区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成

②函数条件：f（x，y）仅为一个变量的函数。

参考资料来源：百度百科-三重积分

Answer 2

如图所示、满意请采纳，谢谢。

追答

呵呵，楼主真是脑残一个

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示