Question

一道高二数学椭圆题

已知直线l：y=x+k经过椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>1)的右焦点F2且与椭圆C交于A、B两点，若以弦AB为直径的圆经过椭圆的左焦点F1，求椭圆C的方程。写出步骤。

Answer 1

解：设F1（-c，0），F2（c，0）,直线过F2，则：
0=c+k,k=-c.直线y=x-c。
代入椭圆，得2个方程：
(a^2+b^2)x^2-2a^2cx+a^2c^2-a^2b^2=0
(a^2+b^2)y^2+2b^2cx+b^2c^2-a^2b^2=0
x1+x1=2a^2c/(a^2+b^2). x1x2=(a^2c^2-a^2b^2)/(a^2+b^2)
y1+y2=-2b^2c/(a^2+b^2) y1y1=(b^2c^2-a^2b^2)/(a^2+b^2)
所以圆心坐标（a^2c/(a^2+b^2)，-b^2c/(a^2+b^2)）
利用圆心到F1的距离=1/2AB。可得一个关于a，b 的式子
最后可得a^=（1+√3）b^2/2
有因为a^2-b^2=c^2=k^2
所以a^2=(2+√3)k^2
b^2=(1+√3)k^2
椭圆方程的解析式为
x^2/(2+√3)+y^2/(1+√3)=k^2.

靠，你这个题我做2个小时。这种题太恶心了。

Answer 2

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