Question

证明∫（sinx/x）dx 在[0,π/2]的定积分估值。

Answer 1

先证明：当0<x<Pi/2时, 2/Pi < sinx /x < 1
则 1<∫[0,π/2]（sinx/x）dx < π/2
不等式sinx /x < 1即 sinx<x.成立
不等式sinx /x > 2/π,用导数证明，令f(x)=sinx -2x/π,求导f'(x)=cosx-2/π 得驻点x0=arccos(2/π)，讨论单调性，当0<x<x0,f'(x)>0,当x0<x<2/π,f'(x)<0, 又fmax=f(x0),f(0)=f(π/2)=0，从而f(x)>0.

追问

2/Pi < sinx /x < 1
则 1<∫[0,π/2]（sinx/x）dx < π/2
这条是为什么？？？有什么定理支撑么？？？

追答

这是定积分的性质,区间长度π/2，另外不知道你学过级数没，可将sinx展开成级数再估值