Question

如图,在△ABC中 AB=AC AD是BC上的中线 P是AD上的一点 过点C作CF‖AB交BP延长线于F BF交AC于E

求证：PB²=PE·PF

Answer 1

连接PC，
角ABC=角ACB
P为角平分线上一点,
三角形ABP和ACP全等，
PB=PC
角PBC=角PCB
角ABF=角ECP
AB//CF
得角ABF=角F
角F=角ECP
公共角FPC,
三角形PCE和PFC相似，
PE：PC=PC：PF，
PC^2=PE*PF
PB^2=PE*PF

Answer 2

证明：
因为 AB=AC,
所以∠ABC=∠ACB
又 AD是BC上的中线
所以AD垂直平分BC,
所以BP=CP,
所以∠PBC=∠PCB,
所以∠ABP=∠ACP
因为CF‖AB
所以∠ABF=∠F,
所以∠PCA=∠F,
又∠CPF是公共角，
所以△PCE∽△PFC,
所以PC/PF=PE/PC,
所以PC^2=PE*PF,
即PB²=PE·PF