Question

在三角形ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则三角形ABC的形状？

Answer 1

sin2A＝sin2B＋sin2C
2sinAcosA=sin[(B+C)+(B-C)]+sin[(C+B)+(C-B)]
2sinAcosA=sin(B+C)cos(B-C)+cos(B+C)sin(B-C)+sin(C+B)cos(C-B)+cos(C+B)sin(C-B)
2sinAcosA=2sin(B+C)cos(B-C)
sinAcosA=sinAcos(B-C)
cosA=cos(B-C)
A=B-C
B=A+C
又A+B+C=180
则B=90
所以三角形ABC为直角三角形

Answer 2

三角形ABC的形状为直角三角形。
证：由sin2A+sin(2B+2C)=0得
sin2B+sin2C+sin(2B+2C)=0
sin2B+sin2C+sin2Bcos2C+cos2Bsin2C=0
sin2B(1+cos2C) + sin2C(1+cos2B)=0
sinBcosBcosCcosC+sinCcosCcosBcosB=0
cosBcosCsin(B+C)=0
cosBcosCsinA=0
由 sinA!=0，cosB=0或者cosC=0
即命题得证。