Question

已知函数f(x)=ax2+2ln(x+1)若f(x)在区间[2,3]是增函数求a的取值范围

Answer 1

f'(x)=2ax＋2/(x＋1)，则只需2ax＋2/(x＋1)≥0在区间[2，3]上恒成立即可，两边除以x (由于x>2)，得：a≥1/[－x(x＋1]=1/[－x²－x]，即只要研究函数g(x)=－x²－x在区间[2，3]上的最值情况。
g(x)=－(x＋1/2)²＋1/4，由于x∈[2，3]，则g(x)的最大值是g(2)=－6，最小值是g(3)=－12。从而1/g(x)∈[－1/6，－1/12]，则a≥－1/12。

Answer 2

解：f(x) 在区间[2,3]是增函数，则f `(x)=(2ax²+2ax+2)/(x+1)≥0在【2,3】上恒成立，
设H（x)=2ax²+2ax+2,
若a=0,则f `(x)=2/(x+1)>0,f(x)在【2,3】上递增，符合题意，
若a≠0，a>0时，则有△=4a²-16a≤0且H(2)=8a+4a+2≥0,H (3)=18a+6a+2≥0.
解得，0≤a≤2.
a<0时，△=4a²-16a≥0且H(2)=8a+4a+2≥0,H (3)=18a+6a+2≥0，
解得，-1/12≤a≤0,
综上，-1/12≤a≤2.

Answer 3

f'(x)=2ax+2/(x+1) 在区间[2,3] f'(x)≥0 即a≥-1/(x+1)/x在区间[2,3]恒成立
设h(x)=1/[(x+1)x] 只要求得h(x)的最小值 即g(x)=(x+1)x的最大值 g(x)在区间[2,3]递增 取x=3代入a≥-1/(x+1)/x
得 a≥-1/(3*4)=-1/12

求参数的范围一般均用分离变量法 因为分类讨论十分繁琐 如果分离变量法不行的话 再用其他方法,因为有些题必须用分类讨论才能做得出

Answer 4

在区间[2,3]上，f'(x)=2ax+2/(x+1) ≥0， a≥-1/[(x+1)x] 恒成立 a≥-1/[(x+1)x] 的最大值
又 在区间[2,3]上 12≥x(x+1)≥6 所以-1/12 ≥-1/[(x+1)x]≥-1/6
所以 a≥-1/12

Answer 5

a>-1/6 

求导数，f'(x)=2ax+2/(x+1) ≥0在区间[2,3]上恒成立

即ax≥-1/(x+1)在区间[2,3]上恒成立

参考下列图像可解。

Answer 6

我不知道你们学没学导数，但用导数求挺简单的。对函数求导，y'=2ax+2/(x+1),函数在【2,3】上增，则y'在其上要大于零。令y'>0,得到二次方程ax(x+1)+1>0(在此区间上分母x+1>0.可以乘过去)，对称轴为-0.5，显然只要在2处大于零就行了。将x=2带入y'>o，解得a>-1/6

追问

学过、、为什么我算的是a>=-6