Question

求对称矩阵特征值与特征向量的雅克比法

Answer 1

这里给出一个例题，说明雅克比迭代求对称矩阵的特征值的具体过程。

Answer 2

雅可比方法的基本思想是通过一系列的由平面旋转矩阵构成的正交变换将实对称矩阵逐步化为对角阵,从而得到 的全部特征值及其相应的特征向量.首先引进 中的平面旋转变换.变换
(7)
记为 ,其中
(8)
则称 为 中 平面内的一个平面旋转变换,称为 平面内的平面旋转矩阵.容易证明 具有如下简单性质：
① 为正交矩阵.
② 的主对角线元素中除第 个与第 个元素为 外,其它元素均为1；非对角线元素中除第 行第 列元素为 ,第 行第 列元素为 外,其它元素均为零.
③ 只改变 的第 行与第 行元素,只改变 的第 列与第 列元素,所以 只改变 的第 行、第 行、第 列、第 列元素.
设 为 阶实对称矩阵,为一对非对角线元素.令
则 为实对称矩阵,且 与 有相同的特征值.通过直接计算知