Question

若⊙C与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为2√7，求⊙C的方程

希望有个详细的解答过程,谢谢

Answer 1

设圆心为（a，3a）
因为圆C与x轴相切，所以半径r=｜3a｜
圆心到直线x-y=0即y=x的距离d=｜a-3a｜/√2=√2｜a｜
根据勾股定理
d²=r²-(2√7/2)²=9a²-7
所以
2a²=9a²-7
a²=1
a=1或-1
所以圆心为（1，3）或（-1，-3）半径=3
圆的方程：(x-1)²+(y-3)²=9或(x+1)²+(y+3)²=9

追问

为什么设圆心为（a，3a）？？

因为圆C与x轴相切，所以半径r=｜3a｜？这两步，我不是很明白？

追答

第一步：因为圆心在直线3x-y=0即y=3x上，当我们设x=a时，那么y=3a
所以圆心坐标（a，3a）
第二步：利用条件与x轴相切，那么切点在x轴上，圆心与切点连线即为半径，也就是圆心到x轴距离绝对值3a

追问

为什么要根据勾股定理来做呢

追答

半径、弦长一半、圆心到弦距离也就是弦心距构成直角三角形
因此用勾股定理，这个是经常要用到的

Answer 2

设圆心C坐标为(a,b)
∵与x轴相切 ∴圆的半径为|b|
又∵圆心在3x-y=0上 ∴圆心C坐标满足3a-b=0 b=3a
故圆的方程为(x-a)2+(y-3a)2=9a2
由圆心向直线x-y=0做垂线CD交直线与D
由点到直线的距离方程{点P(x1,y1)到直线Ax+By+C=0的距离公式是d=|Ax1+By1+C|/√(A2+B2)}
得：CD=|a-b|/√(12+12)=|-2a|/√2
∵被直线x-y=0截得的弦长为2√7
∴设直线与圆的某一交点为E，DE=√7，CE=|b|=|3a|
且△CDE为RT△
故CD2+DE2=CE2
即：2a2 + 7=9a2
得：a=±1 相应的 b=±3
故⊙C方程为
(x-1)2+(y-3)2=9 或 (x+1)2+(y+3)2=9