Question

初中数学函数题

抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的顶点为M，与x轴的焦点为A、B（点B在点A的右侧），△ABM的三个内角角M、角A、角B所对的边分别为m、a、b。若关于x的一元二次方程：
（m-a）x²+2bx+（m+a）=0有两个相等的实数根。
（1）当顶点M的坐标为（-2，-1）时，求抛物线的解析式，并画出抛物线的大致图形
（2）若平行与x轴的直线与抛物线交于C、D两点，以CD为直径的圆恰好与x轴相切，求该圆的圆心的坐标。
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Answer 1

(1)(m-a)x²+2bx+(m+a)=0有两个相等的实数根。
△=（2b)²-4(m+a)(m-a)=4b²-4m²+4a²=0
a²+b²=m²
△ABM是直角三角形
又因为A、B是函数与X轴交点，因此关于对称轴对称
而M在对称轴上，因此AM=BM。即a=b
三角形为等腰直角三角形
M（-2，-1），M到X轴距离为1。三角形斜边上的中线为1
因此AB=2。所以A（-3，0）、B（-1，0）
利用交点式，设二次函数表达式为y=a(x+3)(x+1)
代入M坐标，-a=-1,a=1.表达式为y=(x+3)(x+1)=x²+4x+3
(2)设直线CD为：y=n
则圆心到X轴距离为|n|
C、D两点到圆心距离也为|n|
因为C、D关于对称轴X=-2对称，因此圆心一定在X=-2上，圆心坐标（-2，n)
所以C（-2+n,n) D(-2-n,n)
代入二次函数表达式
(-2+n)²+4(-2+n)+3=n
n²-n-1=0
n1=(1+√5）/2，n2=(1-√5)/2
圆心坐标（-2，(1+√5）/2）或（-2，(1-√5）/2）

Answer 2

（1）（m-a）x2+2bx+（m+a）=0有两个相等的实数根，4b2-4(m+a)(m-a)=0，展开，m2=b2+a2。 RT△ABM。A(-3，0) B(-1，0)。y=x2+4x+3。

（2）设直线CD：y=n。
C(-2+n，n) D(-2-n，n)。代入算n。n2-n-1=0。
n=(1+√5)/2或(1-√5)/2。

Answer 3

(1)(m-a)x²+2bx+(m+a)=0有两个相等的实数根。
△=（2b)²-4(m+a)(m-a)=4b²-4m²+4a²=0
a²+b²=m²
△ABM是直角三角形
因为A、B是函数与X轴交点，所以关于对称轴对称
而M在对称轴上，因此AM=BM。即a=b
三角形为等腰直角三角形
M（-2，-1），M到X轴距离为1。三角形斜边上的中线为1
所以AB=2。所以A（-3，0）、B（-1，0）
利用交点式，设二次函数表达式为y=a(x+3)(x+1)
代入M坐标，-a=-1,a=1.表达式为y=(x+3)(x+1)=x²+4x+3
应该是这样,呵呵!