Question

已知向量m=（1，1），向量n与向量m的夹角为3/4π，且m·n=-1 若向量n与向量q=（1，0）的夹角为π/2，p=（c

已知向量m=（1，1），向量n与向量m的夹角为3/4π，且m·n=-1
若向量n与向量q=（1，0）的夹角为π/2，p=（cosA,2cos^2 C/2）,其中A，B，C为三角形ABC的三个内角，且2B=A+C，求|n+p|的取值范围

Answer 1

设向量n（x，y）
mn=-1，所以x+y=-1....(1)
mn=｜m｜｜n｜cosa=√2*√（x^2+y^2)*cos3/4π=-1
即x^2+y^2=1...(2)
(1)式与(2)式组合，得x=0或x=-1，则相应的y=-1或0
所以向量n=（0，-1）或（-1，0）

向量n与向量q=（1，0）的夹角为π/2，所以n的方向为y轴付方向，模值为1，所以n=(0,-1);
由2B=A+C,知b=π/3,A+C=2π/3. 0<A<2π/3.
若n=(0,-1),则n+p=(cosA,2cos²(C/2)-1)=(cosA,cosC).
所以|n+p|²=cos²A+cos²C=(1+cos2A)/2+(1+cos2C)/2
=1+[cos2A+cos(4π/3-2A)]/2=1+cos(2A+π/3)/2.
因为0<A<2π/3,π/3<2A+π/3<5π/3,
所以-1≤cos(2A+≤/3)<1/2. 1/2≤1+cos(2A+≤/3)/2<5/4,
即|n+p|²∈[1/2,5/4),所以|n+p|∈[√2/2,√5/2).