Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，∠ABC的平分线交AD于点E，EF‖BC，交AC于点F。 求证：AE=CF。

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，∠ABC的平分线交AD于点E，EF‖BC，交AC于点F。 求证：AE=CF。

Answer 1

过e做eg平行于ac，交bc于g，
因为eg平行于ac，所以角egd=角acd，
又因为在三角形内角acd=180-角adc-角dac=180-90-角dac=90-角dac
角bad=角bac-角dac=90-角dac
所以角acd=角bad=角egd，又因为be为角平分线，bh为公共边，所以三角形abe与三角形gbe全等。
所以ae=eg，又因为ac平行eg，ef平行gc，所以eg=cf
所以ae=cf

Answer 2

过E 作A B 的垂线并交于H ，再反向延长交BC 于M ，根据角平分线，得EH 等于CF ，根据角边角，得出三角形AEH 全等于三角形MED 得出AE 等于DE ，因为两个平行得出DE 等于FC 所以AE 等于CF 。

Answer 3

过e做eg平行于ac，交bc于g，
因为eg平行于ac，所以角egd=角acd，
又因为在三角形内角acd=180-角adc-角dac=180-90-角dac=90-角dac
角bad=角bac-角dac=90-角dac
所以角acd=角bad=角egd，又因为be为角平分线，bh为公共边，所以三角形abe与三角形gbe全等