Question

求级数的敛散性

Answer 1

第一题，分成2个交错级数，前面部分x除以n的平方，绝对收敛，后面1/n由莱布尼茨判别法，交错级数收敛，但绝对值是调和级数，它是发散的，所以该题是条件收敛。
第二题，把三角函数展开，最后是（-1)^n*sin(a*pi+b*pi/n)，a不为自然数是，sin(a*pi+b*pi/n)趋于sin(a*pi),不趋近于0，必然发散，当a为自然数是，（-1)^n*sin(a*pi+b*pi/n)三角展开后得到（-1)^n*sin(b*pi/n)或者（-1)^（n+1）*sin(b*pi/n)，-1的指数到底是N还是N+1视a的奇偶而定，对解题没有影响，n充分大后sin(b*pi/n)等价于
b*pi/n，它与调和级数1/n同阶，所以原式不绝对收敛，但1/n趋近于0，由莱布尼茨判别法可知，原交错级数收敛，所以他是条件收敛的。