Question

已知函数f(x）=x^3-4x^2+4x+1,则方程f（x)=0在（2,10）上的根有几个

Answer 1

f(x)=x^3-4x^2+4x+1
f'(x)=3x^2-8x+4=3(x-4/3)^2-4/3
f'(x)=0,x=(4±2√3)/3,
x<(4-2√3)/3,f'(x)>0,(4-2√3)/3<x<(4+2√3)/3,f'(x)<0,x>(4+2√3)/3,f'(x)>0
2<x<(4+2√3)/3,f'(x)<0, x>(4+2√3)/3,f'(x)>0
f(2)>0
f(10)>0
f(x)在(2,10)内最小值f(4/3+2√3/3)>0，
所以f(x)=0在（2,10）无解。

Answer 2

令f'(x)=3x²-8x+4=0
则x=2或x=2/3
f(2/3)=>f(2)>0,f(2)=1
故在（2,10）上无实根
事实上，f(x）=x^3-4x^2+4x+1=0在R上仅有一实根a，且a<0
f(x)在x=2和x=2/3有极值点，在x=4/3处有拐点。
（1）当极大值小于0时，方程有一实根
（2）当极小值大于0时，方程有一实根
(3）当有一极值为0时，方程有二实根
(4)当极大值大于0，极小值小于0时，有三实根 http://wenku.baidu.com/view/ece745fe04a1b0717fd5dd0e.html
http://wenku.baidu.com/view/5e60d4d376a20029bd642de7.html

Answer 3

先判断函数的单调性。
函数的导函数为3x^2-8x+4 令其为0，得到x=2/3 或者 x=2 导函数在（2,10）》0
所以函数在上（2,10）上连续且单调递增。
x=2时函数值为 1 x=10时 函数值为641 可以看到在（2,10）上函数值恒大于0，所以没有根。

Answer 4

0个根
用求导的方法，方程的极小值和极大值都大于0，方程只有一个根，而最大值点在2/3处，最小值点在2处，故在（2，10）上没有根